統計検定2級（3） - リーマンの勉強記録

今日は（母平均の検定を意識して）検定統計量の勉強をしました。内容を整理しておきたいと思います。

まず、ある確率分布に従う確率変数Xの標本平均を $\overline{X}$ と書くと、それを標準化した確率変数Zは

$Z = \frac { \overline{X} - E(\overline{X}) }{\sqrt{V(X)}}$

です。標本平均の平均は母平均 $\mu$ 、標本平均の分散は母分散 $\sigma\ ^2$ をサンプルサイズnで割ったものとなるので*1、

$Z = \frac { \overline{X} - \mu\ }{\sqrt{ \frac{ \sigma\ ^2}{n} }}$

です。「ある確率分布」が正規分布であるならZは標準正規分布に従うので、母分散が既知であれば「母平均 $\mu$ がいくらである」といった帰無仮説を立ててZ検定すれば母平均の検定ができます。

母分散が既知というケースは稀です。母分散 $\sigma\ ^2$ が未知の場合は、代わりに標本から計算した不偏分散 $s ^2$ を使い、

$\frac { \overline{X} - \mu\ }{\sqrt{ \frac{ s ^2}{n}}}$

を検定統計量とします。ただし、もはやこの統計量がどのような分布に従うかはわからないので*2、上の統計量を変形して

$\frac {\frac { \overline{X} - \mu\ }{\sqrt{ \frac{ \sigma\ ^2}{n}}}}{ \sqrt{\frac{ s ^2}{\sigma\ ^2}}} = \frac{ \frac{ \overline{X} - \mu\ }{ \sqrt{ \frac{ \sigma\ ^2}{n}}}}{ \sqrt{\frac{ (n-1) s ^2}{\sigma\ ^2} / (n-1) }}$

を得ます。分子はZ統計量なのでXが正規分布に従うならこれは標準正規分布に従います。分母の $\frac{ (n-1) s ^2}{\sigma\ ^2}$ の部分は、さらに変形すると、

$\frac{\bigl(n-1 \bigr) \sum \frac{\bigl(X - \overline{X} \bigr) ^2}{n-1}}{\sigma\ ^2} = \sum \bigl( \frac{X - \overline{X}}{\sigma} \bigr) ^2$

となり、Xが正規分布に従うならこれは $\chi\ ^2$ 分布に従います*3。つまりXが正規分布に従うとき検定統計量の分子はZ統計量、分母が $\chi\ ^2$ 統計量をその自由度で除し平方根をとったものとなっています。このカタチはt統計量の定義そのものですから、母分散を不偏分散で置き換えた場合は検定統計量がt分布に従います。

サンプルサイズが大きいときはt分布は標準正規分布に分布収束するようですが、これはt統計量のどこを眺めればなぜそうなるのかわかるんですかね。

*1:標本平均の分散は無限母集団を仮定していて、もし有限母集団からの非復元抽出を考えた場合はこの値に $\frac {N - n}{N-1}$ を乗じることになりますが。

*2:結論から言うとt分布に従います。

*3: $\chi\ ^2$ 分布は標準正規分布に従う確率変数の二乗和が従う分布。